14次 摘要：2015年,N. Castro-Gonzalez等给出了环上矩阵P是可逆时矩阵乘积PA是{1,3}-可逆的,AQ是{1,4}-可逆的和PAQ是MP-逆的充要条件及表达式,本文给出了环上矩阵A满足PPA=A=AQQ时,矩阵乘积PA是{1,3}-可逆的,AQ是{1,4}-可逆的,PAQ是MP-逆的充要条件及一些注记。 --> 摘要：2015年,N. Castro-Gonzalez等给出了环上矩阵P是可逆时矩阵乘积PA是{1,3}-可逆的,AQ是{1,4}-可逆的和PAQ是MP-逆的充要条件及表达式,本文给出了环上矩阵A满足P′PA=A=AQQ′时,矩阵乘积PA是{1,3}-可逆的,AQ是{1,4}-可逆的,PAQ是MP-逆的充要条件及一些注记。 关键词：广义逆; {1,3}-逆; {1,4}-逆; Moore-Penrose逆; 广义逆理论是应用广泛的一个数学分支,其在微分方程、数值代数、线性统计推断、最优化、电网络分析、马尔可夫链、系统理论及测量学、信号问题、人工智能等众多领域起着重要的作用。随着大规模科学计算的发展以及其他应用数学领域的需要,广义逆的理论得到了迅速的发展。 广义逆的概念最早来源于1903年I.Fredholm在积分方程的研究中提出的积分算子广义逆(称之为伪逆)。1904年,德国数学家D.Hilbert提出了微分算子的广义逆。而矩阵的广义逆是E.H.Moore教授于1920年首次提出,直到1955年R.Penrose证明了Moore所定义的复矩阵A的广义逆可以采用4个复矩阵方程即AXA=A,XAX=X,(AX)*=AX,(XA)*=XA的唯一解X来表示[1],这个发现开创了广义逆理论的新篇章。为了纪念Moore和Penrose在广义逆上所作的贡献,称这种广义逆为Moore-Penrose逆(简称MP-逆)。至此,许多学者从泛函分析、数值计算和代数学等角度开始研究它,并得到了许多有意义的结果。 1968年,M.H.Pearl[2]给出了任意域上的矩阵A的MP-逆存在的充要条件是秩(A)=秩(AA*)=秩(A*A)。1976年,R.E.Hartwig[3]在*-环中给出了元素的{1,3}-逆和{1,4}-逆存在的充要条件:x为a的{1,3}-逆当且仅当a=x*a*a,y为a的{1,4}-逆当且仅当a=aa*y*。2002年,J.J.Koliha等[4]在*-环R中证明了元素a是MP-逆的当且仅当a既是{1,3}-可逆又是{1,4}-可逆的。2003年,P.Patricio[5]进一步考虑了环上矩阵积PAQ(存在环上矩阵P′,Q′,使得P′PA=A=AQQ′)的MP-逆,证明了PAQ是MP-逆的充要条件是PA是{1,3}-可逆的及AQ是{1,4}-可逆的。2015年,N.Castro-gonzalez等[6]给出了环上矩阵P是可逆时PA是{1,3}-可逆的,AQ是{1,4}-可逆的,PAQ是MP-逆的充要条件及表达式。本文受此启发,给出了环上矩阵A满足P′PA=A=AQQ′时矩阵乘积PA是{1,3}-可逆的,AQ是{1,4}-可逆的,PAQ是MP-逆的充要条件及一些注记。 1预备知识 定义1设R是一个环,*:R→R的映射。如果对所有的a,b∈R,均有(a*)*=a,(ab)*=b*a*和(a+b)*=a*+b*成立,则称*是环R一个对合。具有对合运算*的环,称为*-环。 定义2设R是一个*-环且a∈R,若存在元素y∈R,使得aya=a和(ay)*=ay,则称元素a是{1,3}-可逆的,且称y是a的一个{1,3}-逆,记为a(1,3)。一般地,使上式成立的y并不唯一,把所有满足条件的y构成的集合记为a{1,3}。 定义3设R是一个*-环且a∈R。若存在元素y∈R,使得aya=a和(ya)*=ya,则称元素a是{1,4}-可逆的,且称y是a的一个{1,4}-逆,记为a(1,4)。一般地,使上式成立的y并不唯一,把所有满足条件的y构成的集合记为a{1,4}。 定义4设R是一个*-环且a∈R。若存在元素y∈R,使得aya=a,yay=y,(ay)*=ay和(ya)*=ya,则元素a是MP-可逆的。满足上述方程的y称为a的MP逆。如果元素a的MP-逆存在,则它是唯一的,记为a†。 定义5设R是一个环且a∈R。若存在元素y∈R,使得aya=a,yay=y,ay=ya,则元素a是群可逆的。满足上述方程的y称为a的群逆。如果元素a的群逆存在,则它是唯一的,记为a#。 我们用Mm×n(R)表示环R上m×n阶矩阵的集合,Mm(R)表示环R上m×m阶矩阵的集合。对于Mm×n(R)上任意矩阵A=(aij),我们用Mn×m(R)上A*表示矩阵A的共轭转置矩阵,其中。 下面首先给出本文需要的几个引理。 引理1[6]设环R是有单位元的环,e是R中的幂等元,a是R中的元素。则下列叙述等价: 1)u=ea+1-e是可逆的; 2)v=eae+1-e是可逆的; 3)w=ae+1-e是可逆的; 4)e∈eaeR∩Reae。 引理2[7]设a,b,c∈R。则 1)如果(1+ab)c=1,则(1+ba)(1-bca)=1; 2)如果c(1+ab)=1,则(1-bca)(1+ba)=1。 由引理2可知,1+ab是左(或右)可逆的当且仅当1+ba是左(或右)可逆的。特别地,1+ab是可逆的当且仅当1+ba是可逆的,且(1+ba)-1=1-b(1+ab)-1a。这个公式被称为Jacobson公式。 引理3[3]设R是一个*-环且a∈R。则有 1)元素a是{1,3}-可逆的当且仅当a∈Ra*a。如果存在y∈R使得a=ya*a,则y*∈a{1,3}; 2)元素a是{1,4}-可逆的当且仅当a∈aa*R。如果存在y∈R使得a=aa*y,则y*∈a{1,4}。 下面我们给出*-环中两个元素乘积pa是{1,3}-可逆的刻画。 2主要结果 定理1设R是一个*-环且a∈R使得a(1,3)存在,令e=aa(1,3),且对环R中元素p,存在p′∈R使得p′pa=a。则下列叙述等价: 1)pa是{1,3}-可逆的; 3)u=p*pe+1-e是可逆的; 4)pep*是群可逆的。 此时,pa的一个{1,3}-逆有如下形式 证明1)⇒2)。如果pa是{1,3}-可逆的,且设y是它的一个{1,3}-逆,则有pa=paypa且(pay)*=y*a*p*=pay。 由已知存在p′∈R使得p′pa=a,于是在等式pa=paypa两边同时乘以p′,可得a=aypa。从而有 其中s=p′y*a*∈R。 另一方面,因为e=(aa(1,3))*=aa(1,3)=e,所以e=ep*pes*∈ep*peR。 2)⇒3)。利用引理1即证。 3)⇒1)。因为ea=(aa(1,3))a=a,则有a*=(ea)*=a*e*=a*e。又因为u=p*pe+1-e,等式两边同时乘以a*可得,a*u=(pa)*pe+a*(1-e)=(pa)*pe。因为u是可逆的,所以a*=(pa)*peu-1,从而a*p*=(pa)*peu-1 p*=(pa)*paa(1,3)u-1p*,因此pa=(a(1,3)u-1p*)*(pa)*pa。 由引理3可知,如果存在v∈R使得a=va*a,则a是{1,3}-可逆的且a(1,3)=v*。所以pa是{1,3}-可逆的,且(pa)(1,3)=a(1,3)u-1 p*。 3)⇔4)。因为e=aa(1,3)=e2=e*,且p′pa=a,所以p′pe=e,从而p′pe=e=e*=ep*(p′)*。又由引理1可知u=p*pe+1-e是可逆的,当且仅当u1=ep*p+1-e是可逆的。 由文献[8]的推论1可知如果e=aa(1,3)=e2且存在p′,q′∈R使得p′pe=e=eqq′,则peq是群可逆的充要条件是eqp+1-e是可逆的,且此时(peq)#=pe(eqpe+1-e)-2q。因此,u1=ep*p+1-e是可逆的当且仅当pep*是群可逆的,且此时(pep*)#=pe(u1)-2p*。所以,u=p*pe+1-e是可逆的当且仅当pep*是群可逆的。 注记1定理1推广了文献[6]中定理3.1中1)～3)的结果,即文献[6]中作者假设p是可逆的且p′(1-e)=1-e,而本文的定理1仅是假设p′pa=a。对于文献[6]中的定理3.1中4)的结论,即1+r*r是可逆的当且仅当pa是{1,3}-可逆的(这里r=(1-e)(1-p-1)),我们给出如下说明: 1)即使假设p′pa=a,p′(1-e)=1-e,a†存在,且1+r*r是可逆的,其中r=(1-e)(1-p′),同样也得不到(pa)†存在。更一般地,也得不到pa是{1,3}-可逆的。 例如,设环R表示ℤ2上具有无限秩的有限行有限列的矩阵环,且A*=AT(即矩阵A的对合表示矩阵A的转置)。令a=1,则1-e=0,r=0,且1+r*r是可逆的。设p,p′∈R,定义为 则有p′p=1,p′pa=a,pa=p。但是 在ℤ2上不是可逆的。由文献[9]的定理1可知,p†存在当且仅当pp*+1-pp(1)是可逆的。而由引理1可知pp*+1-pp(1)是可逆的充要条件是p*p+1-pp(1)=p*p是可逆的。而本例中p*p不可逆,从而p†不存在,即(pa)†不存在。 2)如果假设p′pa=a,p′(1-e)=1-e,且假设(pa)†和a†存在,我们也得不到1+r*r是可逆的,其中r=(1-e)(1-p′)。 例如,同上例设环R表示ℤ2上具有无限秩的有限行有限列的矩阵环,且A*=AT。令 则a†存在,且a†=a*=aT。令p=a,因此p′p=1,从而p′pa=a且 则a1†=a1*,故(pa)†存在,且(pa)†=(a2)†=(a†)2。又由 在ℤ2上不是可逆的。 如果1+r*r是可逆的,则有如下定理。 定理2设R是一个*-环且a∈R使得a(1,3)存在,令e=aa(1,3),且对环R中元素p,存在p′∈R使得p′pa=a。如果pa是{1,3}-可逆的,令p′(1-e)=1-e。则下列叙述等价: 1)v=p′(p′)*(1-e)+1-(1-e)是可逆的; 2)w=(1-e)p′(p′)*(1-e)+ep*pe是可逆的; 3)1+r*r是可逆的,其中r=(1-e)(1-p′); 4)pe和(1-e)p′是MP-可逆的且满足(1-e)p′((1-e)p′)†+(pe)†pe=1。 此时,(pe)†=w-1(pe)*,((1-e)p′)†=((1-e)p′)*w-1,且w-1=[(1-e)p′((1-e)p′)*]†+[(pe)*pe]†。从而,pa的{1,3}-逆有如下形式 证明如果pa是{1,3}-可逆的,则由定理1可知,u=p*pe+1-e是可逆的。利用引理1,可知u1=ep*pe+1-e是可逆的。 1)⇔2)。由引理1可知,v=p′(p′)*(1-e)+1-(1-e)是可逆的当且仅当v1=(1-e)p′(p′)*(1-e)+1-(1-e)是可逆的。而w=(1-e)p′(p′)*(1-e)+ep*pe=u1v1=v1u1,故w=(1-e)p′(p′)*(1-e)+ep*pe是可逆的当且仅当v1=(1-e)p′(p′)*(1-e)+1-(1-e)是可逆的,从而w是可逆的当且仅当v是可逆的。由Jacobson公式有u1-1=w-1v1=v1 w-1。又因为v1e=[(1-e)p′(p′)*(1-e)+1-(1-e)]e=e,故 从而2)成立。 1)⇔3)。设r=(1-e)(1-p′)。则r*=(1-p′)*(1-e),故 1+r*r=1+(1-p′)*(1-e)(1-p′)=1+r*(1-p′)=1+r*-r*p′。 因为r2=(1-e)(1-p′)(1-e)(1-p′)=0,故1+r*是可逆的,且(1+r*)-1=1-r*。从而, 因此,1+r*r是可逆的当且仅当1-[(1-e)-(p′)*(1-e)]p′是可逆的。由引理1可知,1-[(1-e)-(p′)*(1-e)]p′是可逆的当且仅当 1-p′[(1-e)-(p′)*(1-e)]=1+p′(p′)*(1-e)-p′(1-e)=1+p′(p′)*(1-e)-(1-e)=v是可逆的。 1)⇔4)。令φ=(1-e)p′,η=pe。则ηφ=pe(1-e)p=0,且 w=(1-e)p′(p′)*(1-e)+ep*pe=(1-e)p′[(1-e)p′]*+(pe)*pe=φφ*+η*η。 假设φ=(1-e)p′和η=pe分别存在MP-逆φ†和η†,且满足φφ†+η†η=1。则我们知道φφ*和η*η也存在MP-逆。又因为φ*η*=(ηφ)*=0,故, 同理可证 [(φφ*)†+(η*η)†](φφ*+η*η)=1。 从而,w=φφ*+η*η是可逆的,且它的逆为(φφ*)†+(η*η)†。 另一方面,如果w=φφ*+η*η是可逆的。因为wφφ*=(φφ*+η*η)φφ*=φφ*φφ*=(φφ*)2,所以φφ*=w-1(φφ*)2。又因为φφ*是自伴随的,故φφ*是MP-可逆的,且(φφ*)†=w-1φφ*w-1。而w=φφ*+η*η与φφ*可交换,且wφ=(φφ*+η*η)φ=φφ*φ,所以,(φφ*)†=w-2φφ*,且φφ*(φφ*)†φ=w-2φφ*φφ*φ=φ。从而φ是MP-可逆的,且φ†=φ*(φφ*)†=φ*φφ*w-2=φ*w-1。 同理可证,η†=w-1η*。 因为w与φφ*可交换,故有φφ†+η†η=φφ*w-1+w-1η*η=w-1(φφ*+η*η)=w-1w=1,得证。 类似定理1和定理2,如果a(1,4)存在,则我们有如下定理3和定理4。 定理3设R是一个*-环且a∈R使得a(1,4)存在,令f=a(1,4)a,且对环R中元素q,存在q′使得a=aqq′。则下列叙述等价: 1)aq是{1,4}-可逆的; 2)f∈Rfqq*f∩fqq*fR; 3)u′=fqq*+1-f是可逆的; 4)q*fq是群可逆的。 此时,aq的一个{1,4}-逆有如下形式 证明注意到(a(1,4))*是a*的{1,3}-逆。因为a=aqq′,故有a*=(q′)*q*a*。应用定理1可知,有如下等价条件: 1)q*a*是{1,3}-可逆的; 2)f∈Rfqq*f∩fqq*fR; 3)u′2=qq*f+1-f是可逆的; 4)q*fq是群可逆的; 由以上条件可知,定理3中1)～4)是等价的。 定理4设R是一个*-环且a∈R使得a(1,4)存在,令f=a(1,4)a,且对环R中元素q,存在q′使得a=aqq′。如果aq是{1,4}-可逆的,令(1-f)q′=1-f。则下列叙述等价: 1)v′=(q′)*q′(1-f)+1-(1-f)是可逆的; 2)w′=(1-f)(q′)*q′(1-f)+fqq*f是可逆的; 3)1+ll*是可逆的,其中l=(1-q′)(1-f); 4)q*f和(1-f)(q′)*是MP-可逆的且满足[q′(1-f)]†q′(1-f)+fq(fq)†=1。 此时,(q*f)†=(w′)-1fq,[(1-f)(q′)*]†=[q′(1-f)](w′)-1且(w′)-1=[(1-f)(q′)*q′(1-f)]†+(fqq*f)†。 从而,aq是{1,4}-可逆的有如下形式 如果a(1,3)和a(1,4)存在,即a†存在,利用定理1和定理3,则有如下定理。 定理5设R是一个*-环且a∈R使得a†存在,令e=aa†,f=a†a,且对环R中元素p和q,存在p′和q′使得p′pa=a=aqq′。则下列叙述等价: 1)(paq)†存在; 2)e∈Rep*pe∩ep*peR,f∈Rfqq*f∩fqq*fR; 3)u=p*pe+1-e和u′=fqq*+1-f是可逆的; 4)pep*和q*fq是群可逆的。 此时,(paq)†=q*(u′)-1a†u-1p*。 证明由参考文献[5]可知,paq是MP-可逆的当且仅当pa是{1,3}-可逆的且aq是{1,4}-可逆,此时(paq)†=(aq)(1,4)a(pa)(1,3)。利用定理1和定理3可知,1)-4)成立,且 参考文献 [1] PENROSE R. A generalized inverse for matrices[J]. Mathematical Proceedings of Cambringe Philosophical Society,1955,51(3):406-413. [2] PEARL M H. Generalized inverses of matrices with entries taken from an arbitrary field[J]. Linear Algebra and Its Applications,1968,1(4):571-587. [3] HARTWIG R E. Block generalized inverses[J]. Archieve for Rational Machanics&Analysis,1976,61(3):197-251. [4] KOLIHA J J,PATRICIO P. Elements of rings with equal spectral idempotents[J]. Journal of Australian Mathratial Society,2002,72(1):137-152. [5] PATRICIO P. The Moore-Penrose inverse of a factorization[J]. Linear Algebra and Its Applications,2003,370(3):227-235. [6] CASTRO-GONZALEZ N,CHEN J L,WANG L. Further results on generalized inverses in rings with involution[J]. Electronic Journal of Linear Algebra,2015,30:118-134. [7] LAM T Y. A first course in noncommutative rings[M]. 2nd ed. Belin-Heiddberg:Springer-Verlag,2010. [8] GOUVEIA M C,PUYSTJENS R. About the group inverse and Moore-Penrose inverse of a product[J]. Linear Algebra and Its Applications,1991,150:361-369. [9] PATRICIO P. The Moore-Penrose inverse of a companion matrix[J]. Linear Algebra and Its Applications,2012,437(3):870-877.
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